圖像的形(xing)態學處理(li)是以數學形(xing)態學為理(li)論基(ji)礎，借助(zhu)數學對圖像進行形(xing)態圖像處理(li)的技術。

數學形態學由一組形態學代數算子組成，最基本的形態學代數算子包括腐蝕、膨脹、開運算、閉運算等。通過組合應用這些算子，可以實現對圖像形狀、結構的分析和處理。數學形態學可以完成圖像分割、特征提取、邊界檢測、圖像濾波、圖像增強和恢復等工作。

數學形態學（Mathematical morphology） 是(shi)一門建(jian)立在格論(lun)和(he)(he)拓(tuo)撲(pu)學基(ji)礎之上(shang)的(de)圖像(xiang)分析學科，是(shi)數學形態學圖像(xiang)a處理的(de)基(ji)本理論(lun)。其基(ji)本的(de)運(yun)算(suan)包括：二(er)值(zhi)(zhi)腐蝕和(he)(he)膨(peng)脹、二(er)值(zhi)(zhi)開閉(bi)(bi)運(yun)算(suan)、骨(gu)架抽取、極(ji)限(xian)腐蝕、擊(ji)中擊(ji)不中變(bian)換、形態學梯度(du)、Top-hat變(bian)換、顆粒分析、流域變(bian)換、灰(hui)值(zhi)(zhi)腐蝕和(he)(he)膨(peng)脹、灰(hui)值(zhi)(zhi)開閉(bi)(bi)運(yun)算(suan)、灰(hui)值(zhi)(zhi)形態學梯度(du)等。

膨(peng)脹與(yu)腐蝕(Dilation與(yu)Erosion)。

膨脹與腐(fu)蝕能實現(xian)多(duo)種(zhong)多(duo)樣的功能，主要如下(xia)：

? 消除噪(zao)聲

? 分(fen)割(isolate)出獨立的圖(tu)像元(yuan)素，在(zai)圖(tu)像中(zhong)連接(join)相鄰的元(yuan)素。

? 尋找圖像中的明(ming)顯的極大值區域或極小值區域

? 求出圖像的梯度(du)

㈠圖像的膨脹(dilate)

膨脹(zhang)在數學(xue)形態學(xue)運(yun)算(suan)(suan)中(zhong)的作用(yong)是擴展(zhan)物體的邊界(jie)點(dian)。在數字圖(tu)像(xiang)處理(li)中(zhong)，對(dui)于(yu)確定(ding)的結構元素，通(tong)過(guo)(guo)膨脹(zhang)運(yun)算(suan)(suan)可(ke)以對(dui)于(yu)一(yi)些(xie)相臨距離較短的區(qu)域進行連接。不過(guo)(guo)，圖(tu)像(xiang)的膨脹(zhang)處理(li)是雜(za)點(dian)敏感的，細小的雜(za)點(dian)通(tong)過(guo)(guo)膨脹(zhang)處理(li)往(wang)往(wang)會(hui)變得(de)較為明(ming)顯。

膨(peng)脹的原(yuan)理：       

在(zai)數(shu)學(xue)形態(tai)學(xue)中，設(she)A為(wei)(x,y)平面上(shang)(shang)一目標(biao)區(qu)域(yu)，S為(wei)指定(ding)大小和形狀的(de)結(jie)構元素(su)，定(ding)義位于坐標(biao)(x，y)上(shang)(shang)的(de)結(jie)構元素(su)S所標(biao)識(shi)的(de)區(qu)域(yu)為(wei)S（x，y），那么對于A的(de)膨脹結(jie)果可以(yi)表示為(wei)：

其實，膨脹就(jiu)是(shi)求局部最大值的操作。

按(an)數學方面來說，膨脹或者腐(fu)蝕操作就是將圖像（或圖像的(de)一部分(fen)區域，我們稱之為A）與(yu)核（我們稱之為B）進行卷積(ji)。

核可以是任何(he)的(de)形(xing)狀和大小，它擁(yong)有一個(ge)單獨(du)定義出(chu)來的(de)參(can)考點，我們稱其(qi)為錨點（anchorpoint）。多數情(qing)況下，核是一個(ge)小的(de)中間帶有參(can)考點和實心正方形(xing)或者圓盤，其(qi)實，我們可以把核視為模板或者掩碼(ma)。

而(er)膨脹就(jiu)是求局部最大值的(de)操(cao)作，核B與(yu)圖形卷積，即計算核B覆蓋的(de)區(qu)域的(de)像(xiang)素點的(de)最大值，并把(ba)這個最大值賦值給參(can)考(kao)點指定的(de)像(xiang)素。這樣就(jiu)會使圖像(xiang)中的(de)高(gao)亮區(qu)域逐漸(jian)增(zeng)長。如下圖所示，這就(jiu)是膨脹操(cao)作的(de)初(chu)衷。

㈡圖像的腐蝕(Erosion)

腐蝕在數學形態學運算中的作用是消除物體的邊界點。在數字圖像處理中，對于確定的結構元素，通過腐蝕運算可以消除小于結構元素的點。同時，若一個目標區域中含有細小的連接部分，那么通過腐蝕處理可以對區域進行分割。

在數學形態學中，設A為(x,y)平面上一目標區域，S為指定大小和形狀的結構元素，定義位于坐標(x，y)上的結構元素S所標識的區域為S（x，y），那么對于A的腐蝕結果可以表示為：腐蝕的原理：

對(dui)于相(xiang)同(tong)(tong)的圖像，用不同(tong)(tong)的結(jie)(jie)構(gou)元(yuan)素(su)進行腐蝕操作的結(jie)(jie)果是不同(tong)(tong)的，因此(ci)結(jie)(jie)構(gou)元(yuan)素(su)的形(xing)狀和(he)大小往往直接決(jue)定了腐蝕操作的性能和(he)效果。

再來看(kan)一(yi)下腐(fu)蝕，大家(jia)應該知道，膨脹和(he)腐(fu)蝕是一(yi)對(dui)好基友(you)，是相反的一(yi)對(dui)操(cao)作，所以腐(fu)蝕就是求局部最小值的操(cao)作。

我們一(yi)(yi)般都(dou)會(hui)把腐蝕和膨脹對應(ying)起來理解(jie)和學習。下文就可(ke)以(yi)看(kan)到(dao)，兩(liang)者(zhe)的函數原型也是基本上一(yi)(yi)樣的。 

原理圖：

利用(yong)基本的膨脹(zhang)和腐蝕技術，來執行(xing)更加高級的形(xing)(xing)態(tai)學變換，如開閉運(yun)算、形(xing)(xing)態(tai)學梯度(du)、“頂帽”、“黑帽”等(deng)等(deng)。

理論與(yu)概念(nian)講(jiang)解——從現象到本質

首先呢，要知道形態(tai)(tai)學的(de)高級形態(tai)(tai)，往(wang)往(wang)都是建立在腐(fu)蝕(shi)和膨脹這兩個基本(ben)操作之上的(de)。

㈢開運算（Opening Operation）

開運(yun)算（Opening Operation），其實就(jiu)是先腐蝕后膨(peng)脹的過(guo)程。 其數學表(biao)達(da)式如下(xia)：

開運(yun)算可以 用來消(xiao)除小(xiao)物(wu)體、在纖(xian)細點處分(fen)離物(wu)體、平滑較大物(wu)體的邊(bian)界的同(tong)時(shi)并不明顯改(gai)變其面積。效果圖是(shi)這樣(yang)的：

㈣閉運算(Closing Operation)

先膨脹后腐蝕的(de)過程稱為閉運(yun)算(Closing Operation)，其數學表達(da)式如下：

㈤形態學梯度（MorphologicalGradient）

形(xing)態學(xue)梯度(du)（Morphological Gradient）為膨脹圖(tu)與(yu)腐蝕圖(tu)之差，數學(xue)表(biao)達式如(ru)下：

㈥頂帽（Top Hat）對二(er)值圖(tu)像進(jin)行這一操作可(ke)以將團塊(kuai)（blob）的邊緣(yuan)突(tu)出(chu)(chu)出(chu)(chu)來。我們(men)可(ke)以用形(xing)態學梯度來保留物體的邊緣(yuan)輪(lun)廓，如下(xia)所(suo)示:

頂(ding)帽運(yun)算(suan)(suan)（Top Hat）又常常被譯為”禮帽“運(yun)算(suan)(suan)。為原圖(tu)像與上文剛(gang)剛(gang)介(jie)紹的(de)“開運(yun)算(suan)(suan)“的(de)結果(guo)圖(tu)之差(cha)，數學表達式如下：

頂帽運算往往用來分離比鄰近點亮一些的斑塊。當一幅圖像具有大幅的背景的時候，而微小物品比較有規律的情況下，可以使用頂帽運算進行背景提取。因為開運算帶(dai)來的(de)結果(guo)是放(fang)大(da)了裂(lie)縫或者局部(bu)低(di)亮度的(de)區(qu)域，因此，從(cong)原(yuan)圖(tu)(tu)中減(jian)去(qu)開運算后的(de)圖(tu)(tu)，得到的(de)效果(guo)圖(tu)(tu)突出了比原(yuan)圖(tu)(tu)輪廓周圍的(de)區(qu)域更明(ming)亮的(de)區(qu)域，且這一操作(zuo)和選(xuan)擇的(de)核的(de)大(da)小相(xiang)關。

㈦黑帽（Black Hat）

黑帽（Black Hat）運算為(wei)”閉運算“的結果圖(tu)與原圖(tu)像之差(cha)。數學表達式為(wei)：

黑(hei)帽運算后的效(xiao)果圖突出了比原圖輪廓(kuo)周(zhou)圍的區域更(geng)暗(an)的區域，且這一操作和選擇(ze)的核的大小相關。

所以，黑帽(mao)運算用來(lai)分離比鄰近點暗一些的斑塊。非常(chang)完(wan)美(mei)的輪廓(kuo)效果圖：