一、圖像的平移變換

　　設圖像的高度為H，寬度為W，如下所示：

我們知道，圖像(xiang)是(shi)(shi)由像(xiang)素(su)組成的，而像(xiang)素(su)的集合就相當于一(yi)(yi)個二(er)維的矩(ju)陣，每一(yi)(yi)個像(xiang)素(su)都有(you)一(yi)(yi)個“位置”，也(ye)就是(shi)(shi)像(xiang)素(su)都有(you)一(yi)(yi)個坐標。假設原來的像(xiang)素(su)的位置坐標為（x0,y0），經過平(ping)移量（△x，△y）后，坐標變為（x1,y1），如(ru)下所示：

用數學式(shi)子表示可(ke)以表示為：

　　　　　　　　　　　　　　x1 = x0 + △x,

　　　　　　　　　　　　　　y1 = y0 + △y；

用矩陣表示為：

本來使用二維矩陣就可(ke)以了(le)的(de)(de)，但是為了(le)適應像素(su)、拓展適應性(xing)，這里使用三位的(de)(de)向(xiang)量。

式子中，矩陣：

稱為平移變換矩陣（因子），△x和(he)△y為平移量。

這里將(jiang)變(bian)(bian)換矩陣變(bian)(bian)為(wei)三行三列可以滿足所(suo)有幾何變(bian)(bian)換要(yao)求(qiu)。

矩陣：稱為坐標系矩陣，將二維圖像變為三維圖像，多常數1。

此外(wai)，我們也(ye)知(zhi)道了，圖像(xiang)的高度(du)H其(qi)實也(ye)就(jiu)是像(xiang)素的行數，對(dui)于坐標1≤X≤H；圖像(xiang)的長度(du)也(ye)就(jiu)是像(xiang)素的列數，對(dui)應坐標1≤Y≤W。

對于原圖中被移出圖像顯示區域的點通常也有兩種處理方法：直接丟棄或者通過加目標圖像的尺寸〈將新生成的圖像寬度增加TxTx，高度增加TyTy〉的方(fang)法使新圖(tu)像(xiang)中能(neng)夠包含這些(xie)點(dian)。

二、圖像的鏡像變換

　　圖像(xiang)(xiang)的鏡(jing)像(xiang)(xiang)變換分(fen)(fen)為水(shui)平鏡(jing)像(xiang)(xiang)和垂直(zhi)(zhi)鏡(jing)像(xiang)(xiang)。水(shui)平鏡(jing)像(xiang)(xiang)即將圖像(xiang)(xiang)左(zuo)半(ban)(ban)部(bu)分(fen)(fen)和右半(ban)(ban)部(bu)分(fen)(fen)以(yi)圖像(xiang)(xiang)堅(jian)直(zhi)(zhi)中(zhong)軸(zhou)線(xian)為中(zhong)心軸(zhou)進行對(dui)換；而豎直(zhi)(zhi)鏡(jing)像(xiang)(xiang)則是將圖像(xiang)(xiang)上半(ban)(ban)部(bu)分(fen)(fen)和下半(ban)(ban)部(bu)分(fen)(fen)以(yi)圖像(xiang)(xiang)水(shui)平中(zhong)軸(zhou)線(xian)為中(zhong)心軸(zhou)進行對(dui)換.

下(xia)(xia)面分別進(jin)行(xing)這兩種鏡像的介紹，首先說明一(yi)下(xia)(xia)，無論是水平(ping)鏡像還(huan)是垂(chui)直鏡像，鏡像后高度和寬度都不變。

H圖(tu)像的高度(du)，關聯(lian)x          W：圖(tu)像的寬度(du)，關聯(lian)y

·水平鏡像操作：以原圖像的垂直中軸線為中心，將圖像分為左右兩部分進行對稱變換。示意圖如下所示：

　　水(shui)平(ping)(ping)鏡像中(zhong)，原(yuan)圖中(zhong)的(de)（x0,y0）經過水(shui)平(ping)(ping)鏡像后，坐標變成了(le)（x0,W-y0），用(yong)數(shu)學公式表(biao)達就是(shi)：

　　　　　　　　　　x1 = x0,

　　　　　　　　　　y1 = W-y0 ;

寫成矩陣就是：

也就是說，水平(ping)鏡(jing)像變換矩陣（因子）為：

·垂直鏡像操作：以原圖像的水平中軸線為中心，將圖像分為上下兩部分進行對(dui)稱變換。示(shi)意圖如下所示(shi)

　　垂直鏡像(xiang)中(zhong)，原圖中(zhong)的（x0,y0）經過垂直鏡像(xiang)后(hou)，坐(zuo)標變(bian)成了(le)（H-x0,y0），用數(shu)學公(gong)式(shi)表達(da)就是(shi)：

　　　　　　　　x1 = H - x0,

　　　　　　　　y1 = y0 ;

寫成矩陣就是：

也就是說(shuo)，垂直(zhi)鏡像變換矩(ju)陣（因子）為：

三、圖像的轉置變換

　　圖像的轉置就是將圖像像素的x坐標和y坐標互換。這樣將改變圖像的高度和寬度，轉置后圖像(xiang)的高度和寬(kuan)度也將(jiang)互(hu)換(huan)。

圖(tu)像的轉置用數(shu)學公式(shi)描述就是(shi)：

   　　　　　　x1 = y0,

                            y1 = x0;

寫出矩陣如下所示：

四、圖像的旋轉

　　一般情況下，旋(xuan)轉(zhuan)操(cao)作會有一個旋(xuan)轉(zhuan)中(zhong)心，這個旋(xuan)轉(zhuan)中(zhong)心一般為圖(tu)像(xiang)的(de)中(zhong)心，旋(xuan)轉(zhuan)之后(hou)圖(tu)像(xiang)的(de)大小一般會發生(sheng)改變。圖(tu)像(xiang)像(xiang)素(su)原來的(de)坐標為（x0,y0），（順時針）選擇(ze)Θ角度后(hou)得(de)到（x1,y1），用(yong)數學公式表達如下所示：

             x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ，

             y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ；

用矩陣表示如下(xia)所(suo)示：

五、圖像的縮放

圖像的比例縮放變換是指給定的圖像在x軸方向按比例縮放f_x倍，在y軸方向縮放f_y倍，從而獲得一幅新的圖象。比例縮放前后兩點P₀(x₀,y₀)、P(x,y)之間的(de)關(guan)系(xi)用矩陣形式可以表現為：

數學公式表達：

       x1 = x0·Fx，

       y1 = -y0·Fy；

在圖像(xiang)放大(da)的(de)正(zheng)變換中(zhong)，會(hui)出現(xian)很多的(de)空格(ge)(ge)。因(yin)此，需要對(dui)放大(da)后(hou)所多出來的(de)空格(ge)(ge)填入(ru)適(shi)當的(de)像(xiang)素(su)值(zhi)(zhi)。一般采用最鄰近插值(zhi)(zhi)和線性(xing)插值(zhi)(zhi)法(fa)。

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