邊緣

邊緣(edge)是(shi)指圖像(xiang)局部強度(du)變化最顯著的(de)部分(fen)。主要存在于目(mu)標(biao)(biao)與目(mu)標(biao)(biao)、目(mu)標(biao)(biao)與背景、區域(yu)與區域(yu)(包括不同色彩(cai))之間，是(shi)圖像(xiang)分(fen)割(ge)、紋理特(te)征(zheng)和(he)形(xing)狀特(te)征(zheng)等圖像(xiang)分(fen)析的(de)重要基礎。

圖(tu)像(xiang)梯度特征的常用算子：Sobel、Prewitt、Roberts

一階導數法：梯度算子

對于(yu)左圖，左側的(de)邊是(shi)正的(de)（由(you)暗到亮），右側的(de)邊是(shi)負的(de)（由(you)亮到暗）。對于(yu)右圖，結論相(xiang)反。常數(shu)部分為零。用來檢測邊是(shi)否存在。

二階微分法：拉普拉斯

二階微分在(zai)亮的(de)一邊(bian)(bian)是(shi)(shi)負的(de)，在(zai)暗的(de)一邊(bian)(bian)是(shi)(shi)正的(de)。常數部分為(wei)零。可以用來確(que)定邊(bian)(bian)的(de)準確(que)位置，以及像素在(zai)亮的(de)一側還是(shi)(shi)暗的(de)一側。

拉普拉斯(si)對噪(zao)聲敏感，會(hui)產生雙(shuang)邊效果。不(bu)能檢(jian)測(ce)出邊的方向。通常不(bu)直接用于邊的檢(jian)測(ce)，只起輔助(zhu)的角色，檢(jian)測(ce)一個像(xiang)素是在邊的亮的一邊還是暗的一邊利用零跨(kua)越，確定(ding)邊的位置(zhi)。

索貝爾算子（Sobel operator）

索貝爾算(suan)(suan)子（Sobel operator）主要用作邊緣(yuan)檢測(ce)，在技術上，它(ta)是一離(li)散性差(cha)分算(suan)(suan)子，用來運算(suan)(suan)圖像(xiang)亮度(du)函數的(de)(de)灰(hui)度(du)之近似值(zhi)。在圖像(xiang)的(de)(de)任何一點使用此算(suan)(suan)子，將會產生對(dui)應的(de)(de)灰(hui)度(du)矢量(liang)或是其法矢量(liang)。

Sobel卷(juan)積因子為：

該(gai)算(suan)子包(bao)含兩組(zu)3x3的(de)矩陣，分別(bie)為橫(heng)向(xiang)(xiang)及(ji)縱向(xiang)(xiang)，將之與圖(tu)像作平面卷積，即可分別(bie)得出(chu)橫(heng)向(xiang)(xiang)及(ji)縱向(xiang)(xiang)的(de)亮度差分近似值。如果以A代表原(yuan)始圖(tu)像，Gx及(ji)Gy分別(bie)代表經橫(heng)向(xiang)(xiang)及(ji)縱向(xiang)(xiang)邊緣檢測的(de)圖(tu)像灰度值，其公式(shi)如下：

具體計算如下：

Gx = (-1)*f(x-1,y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

     +(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

     +(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

=[f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

Gy =1* f(x-1, y-1)+ 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

     +0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

     +(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) +2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

其中f(a,b), 表示圖(tu)像(xiang)(a,b)點的灰度值；

圖像的每一個像素的橫(heng)向及(ji)縱向灰度值(zhi)通(tong)過以下公式結合，來計算該點(dian)灰度的大(da)小：

通常，為了提高效(xiao)率 使用(yong)不開平方的近(jin)似值：

如(ru)果梯度G大于某一(yi)閥值 則認為(wei)該點(x,y)為(wei)邊緣點。

然后可用以下公式計算梯度方向(xiang)： 

Sobel算(suan)子根據(ju)像素點(dian)上下、左右(you)鄰點(dian)灰(hui)度加權(quan)差，在(zai)邊(bian)緣(yuan)處達(da)到極值這一(yi)現(xian)象檢測邊(bian)緣(yuan)。對(dui)噪聲(sheng)具(ju)有(you)平滑作用(yong)(yong)，提供較(jiao)為(wei)精確的邊(bian)緣(yuan)方(fang)向信息(xi)，邊(bian)緣(yuan)定位精度不夠高(gao)。當(dang)對(dui)精度要求不是(shi)很高(gao)時，是(shi)一(yi)種(zhong)較(jiao)為(wei)常用(yong)(yong)的邊(bian)緣(yuan)檢測方(fang)法。　 

普利維特算子(Prewitt operate)： 

除sobel邊(bian)緣檢測外(wai) 還有Prewitt算子， 它(ta)的(de)卷積因子如下：

其他計算(suan) 和sobel差不多(duo)；

Prewitt算子利用像(xiang)素(su)點上下、左右鄰點灰(hui)度差，在邊緣(yuan)處達到極值檢測邊緣(yuan)。對噪聲具有(you)平滑作(zuo)用，定位精度不夠高。

羅伯茨交叉邊緣檢測（Roberts Cross operator）

卷積因子如下：

灰度公式為：

近似公式為：

具體計算如下：

G(x,y)=abs(f(x,y)-f(x+1,y+1))+abs(f(x,y+1)-f(x+1,y)) 

灰(hui)度(du)方向 計算公式為：

Roberts算(suan)子(zi)采用對角線方向(xiang)相(xiang)鄰(lin)兩像(xiang)素之差近似梯度幅(fu)值檢測邊(bian)緣(yuan)(yuan)。檢測水平和垂直邊(bian)緣(yuan)(yuan)的效果好于斜向(xiang)邊(bian)緣(yuan)(yuan)，定(ding)位精度高，對噪聲敏感。