本(ben)文(wen)主要介紹(shao)了高斯濾波器的原理及其實(shi)現過(guo)程(cheng)

高斯(si)濾(lv)波(bo)(bo)器是(shi)(shi)一種線性濾(lv)波(bo)(bo)器，能(neng)夠(gou)有效的(de)(de)抑(yi)制噪(zao)聲，平滑(hua)圖像。其作用原理和(he)均(jun)(jun)(jun)值(zhi)(zhi)(zhi)濾(lv)波(bo)(bo)器類似(si)，都是(shi)(shi)取濾(lv)波(bo)(bo)器窗口(kou)內的(de)(de)像素的(de)(de)均(jun)(jun)(jun)值(zhi)(zhi)(zhi)作為輸出。其窗口(kou)模(mo)板的(de)(de)系(xi)(xi)數(shu)和(he)均(jun)(jun)(jun)值(zhi)(zhi)(zhi)濾(lv)波(bo)(bo)器不(bu)同(tong)，均(jun)(jun)(jun)值(zhi)(zhi)(zhi)濾(lv)波(bo)(bo)器的(de)(de)模(mo)板系(xi)(xi)數(shu)都是(shi)(shi)相同(tong)的(de)(de)為1；而(er)(er)高斯(si)濾(lv)波(bo)(bo)器的(de)(de)模(mo)板系(xi)(xi)數(shu)，則隨著距離模(mo)板中心的(de)(de)增大而(er)(er)系(xi)(xi)數(shu)減小(xiao)。所以，高斯(si)濾(lv)波(bo)(bo)器相比于均(jun)(jun)(jun)值(zhi)(zhi)(zhi)濾(lv)波(bo)(bo)器對圖像個模(mo)糊程度較小(xiao)。

什么是高斯濾波器

既然(ran)名稱為高(gao)斯(si)濾波(bo)器，那么(me)其和高(gao)斯(si)分(fen)布(bu)（正態(tai)分(fen)布(bu)）是有一(yi)定的關系(xi)的。一(yi)個二維的高(gao)斯(si)函數如下：

其中為點坐標，在圖像處理中可認為是整數；是標準差。要想得到一個高斯濾波器的模板，可以對高斯函數進行離散化，得到的高斯函數值作為模板的系數。例如：要產生一個的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標原點進行取樣。模板在各個位置的坐標，如下所示（x軸水平向右，y軸豎直向下）

這樣，將各個位置的坐標帶入到高斯函數中，得到的值就是模板的系數。
對于窗口模板的大小為 ，模板中各個元素值(zhi)的計算(suan)公(gong)式如下：

這樣計算出來的(de)模板有兩種形(xing)式：小數和整數。

·        小數(shu)形式的模板，就是直接計(ji)算得(de)到的值，沒有經過(guo)任何的處理；

·        整數形式的，則需要進行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會具體介紹。使用整數的模板時，需要在模板的前面加一個系數，系數為，也就是模板(ban)系數和(he)的倒數。

高斯模板的生成

知道(dao)模板生成的(de)原(yuan)理，實現(xian)起來也就不困(kun)難了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的(de)中心位(wei)置，也就是(shi)坐標的(de)原(yuan)點
    double x2, y2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    double k = 1 / window[0][0]; // 將(jiang)左上(shang)角的系數歸(gui)一(yi)化為1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] *= k;
        }
    }
}

需要一個二維數組，存放生成的系數（這里假設模板的最大尺寸不會超過11）；第二個參數是模板的大小（不要超過11）；第三個參數就比較重要了，是高斯分布的標準差。
生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。 然后就是遍歷，根據高斯分布的函數，計算模板中每個系數的值。
需要注意的是，最后歸一化的過程，使用模板左上角的系數的倒數作為歸一化的系數（左上角的系數值被歸一化為1），模板中的每個系數都乘以該值（左上角系數的倒數），然后將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。
下面截圖生成的是，大小為的模板

對上(shang)述解(jie)結果取(qu)整后得到如下模板：

這個模板就比較熟悉了，其就是根據的高斯函數生成的模板(ban)。

至于(yu)小數形式(shi)的(de)(de)生成也比(bi)較簡單(dan)，去掉歸(gui)一化的(de)(de)過(guo)程(cheng)，并且(qie)在求(qiu)解過(guo)程(cheng)后，模(mo)板的(de)(de)每(mei)個(ge)系數要(yao)除以所(suo)有系數的(de)(de)和。具(ju)體(ti)代碼如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的中心(xin)位(wei)置，也就是坐標的原點
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            sum += g;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    //double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的(de)系(xi)數歸一化為1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] /= sum;
        }
    }
}

的小數型模板。

值的意義及選取

通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的參數就是高斯分布的標準差。標準差代表著數據的離散程度，如果較小，那么生成的模板的中心系數較大，而周圍的系數較小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯；反之，較(jiao)大，則生成的模(mo)板(ban)的各(ge)個系數(shu)相差就不(bu)是很(hen)大，比(bi)(bi)較(jiao)類似均值模(mo)板(ban)，對圖像的平(ping)滑效果比(bi)(bi)較(jiao)明顯。

來看下一維高斯分布的概率分布密度圖：

橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。（標準差）決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩；越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬（分布越分散）；同理，當越小時，說明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄！
于是可以得到如下結論：
越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類似于平均模板；
越(yue)小(xiao)，分(fen)(fen)布越(yue)集中(zhong)，中(zhong)間部分(fen)(fen)所占比重(zhong)遠(yuan)(yuan)(yuan)遠(yuan)(yuan)(yuan)高于(yu)其他部分(fen)(fen)，反映到高斯模板上就(jiu)是中(zhong)心元素值(zhi)遠(yuan)(yuan)(yuan)遠(yuan)(yuan)(yuan)大于(yu)其他元素值(zhi)，于(yu)是自(zi)然(ran)而然(ran)就(jiu)相當于(yu)中(zhong)間值(zhi)得點運算。

基于OpenCV的實現

在(zai)生成高(gao)斯模板好，其(qi)簡單的實現和其(qi)他的空間濾波器沒有區別，具體(ti)代碼(ma)如下(xia)：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理(li)單通道或者三通道圖像(xiang)
    const static double pi = 3.1415926;
    // 根(gen)據窗口大小(xiao)和sigma生成高斯濾波器模板
    // 申(shen)請一(yi)個(ge)二維數(shu)組，存放生成的高斯模(mo)板矩陣
    double **templateMatrix = new double*[ksize];
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        templateMatrix[i] = new double[ksize];
    int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原(yuan)點
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - origin, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - origin, 2);
            // 高斯函數前的常(chang)數可以不用計算，會在(zai)歸一化(hua)的過(guo)程中(zhong)給消去
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            sum += g;
            templateMatrix[i][j] = g;
        }
    }
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            templateMatrix[i][j] /= sum;
            cout << templateMatrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    // 將模板應用到圖像(xiang)中(zhong)
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int a = -border; a <= border; a++)
            {
                for (int b = -border; b <= border; b++)
                {
                    if (channels == 1)
                    {
                        sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at(i + a, j + b);
                    }
                    else if (channels == 3)
                    {
                        Vec3b rgb = dst.at(i + a, j + b);
                        auto k = templateMatrix[border + a][border + b];
                        sum[0] += k * rgb[0];
                        sum[1] += k * rgb[1];
                        sum[2] += k * rgb[2];
                    }
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
                dst.at(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 釋(shi)放模板數組(zu)
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        delete[] templateMatrix[i];
    delete[] templateMatrix;
}

只處理單通道或者三通道圖像，模板生成后，其濾波（卷積過程）就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其循環運算次數為，其中m，n為圖像的尺寸；ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間復雜度為，隨濾(lv)波(bo)器(qi)(qi)的(de)模板的(de)尺(chi)寸呈平方增(zeng)長，當高斯濾(lv)波(bo)器(qi)(qi)的(de)尺(chi)寸較大時，其運(yun)算(suan)效率(lv)是極低的(de)。為了(le)，提高濾(lv)波(bo)的(de)運(yun)算(suan)速度，可以將二(er)維(wei)的(de)高斯濾(lv)波(bo)過程分(fen)解開來(lai)。

分離實現高斯濾波

由于高(gao)斯函數(shu)的(de)(de)可分(fen)離性，尺寸較大(da)的(de)(de)高(gao)斯濾(lv)波器可以分(fen)成(cheng)兩步進(jin)行：首(shou)先將圖像在水平(ping)（豎直(zhi)）方向(xiang)與一(yi)維高(gao)斯函數(shu)進(jin)行卷積；然后(hou)將卷積后(hou)的(de)(de)結果在豎直(zhi)（水平(ping)）方向(xiang)使(shi)用(yong)相同的(de)(de)一(yi)維高(gao)斯函數(shu)得到的(de)(de)模板(ban)進(jin)行卷積運算。具體實(shi)現代碼(ma)如下：

// 分(fen)離的計算
void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單(dan)通道或(huo)者(zhe)三通道圖像(xiang)
    // 生(sheng)成一維的高斯濾(lv)波模板(ban)
    double *matrix = new double[ksize];
    double sum = 0;
    int origin = ksize / 2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        // 高斯函數前(qian)的(de)常(chang)數可以不用計算，會在歸(gui)一化(hua)的(de)過程(cheng)中(zhong)給(gei)消(xiao)去
        double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));
        sum += g;
        matrix[i] = g;
    }
    // 歸(gui)一(yi)化(hua)
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        matrix[i] /= sum;
    // 將模板應用(yong)到(dao)圖像中
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    // 水平(ping)方(fang)向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j + k); // 行(xing)不變(bian)，列變(bian)化；先做水平(ping)方(fang)向的卷(juan)積
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at(i, j + k);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
                dst.at(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 豎直(zhi)方向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直(zhi)方向的卷積
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at(i + k, j);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
                dst.at(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    delete[] matrix;
}

代碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函數的模板，在卷積（濾波）的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算；接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。這樣分解開來，算法的時間復雜度為，運算(suan)量和濾波器的模板尺(chi)寸呈線性增長。

在(zai)OpenCV也有對高斯濾(lv)波器(qi)的封裝GaussianBlur，其聲明如下：

CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,
                                double sigmaX, double sigmaY = 0,
                                int borderType = BORDER_DEFAULT );

二維高斯函數的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的代碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設置不同的標準差。
下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比

上圖是的高斯(si)濾波器，可(ke)以看出兩(liang)個(ge)實現得到的結果沒有很大的區別。

總結

高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函數離散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波后的結果相對于均值濾波器來說更好。
高斯濾波器最重要的參數就是高斯分布的標準差，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對圖像的平滑程度就越好。通過調節參數(shu)，可以平衡對圖(tu)像(xiang)的噪聲的抑制和對圖(tu)像(xiang)的模糊。